3.177 \(\int \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)} \tanh ^4(x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=125 \[ -\frac{\left (a^2+6 a b-3 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )}{8 b^{3/2}}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}+\frac{(a-3 b) \tanh (x) \sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}{8 b}+\sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right ) \]

[Out]

-((a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]])/(8*b^(3/2)) + Sqrt[a]*ArcTanh[(Sq
rt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]] + ((a - 3*b)*Tanh[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/(8*b) - (Tanh[x]^3*S
qrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/4

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.312771, antiderivative size = 125, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 9, number of rules used = 9, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.529, Rules used = {4141, 1975, 478, 582, 523, 217, 203, 377, 206} \[ -\frac{\left (a^2+6 a b-3 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )}{8 b^{3/2}}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}+\frac{(a-3 b) \tanh (x) \sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}{8 b}+\sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*Tanh[x]^4,x]

[Out]

-((a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]])/(8*b^(3/2)) + Sqrt[a]*ArcTanh[(Sq
rt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]] + ((a - 3*b)*Tanh[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/(8*b) - (Tanh[x]^3*S
qrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/4

Rule 4141

Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[
{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[((d*ff*x)^m*(a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/2))^p)/(1 + ff^
2*x^2), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] && IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[m/2] ||
EqQ[n, 2])

Rule 1975

Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*ExpandToSum[u, x]^p*ExpandToSum[v, x]^q
, x] /; FreeQ[{e, m, p, q}, x] && BinomialQ[{u, v}, x] && EqQ[BinomialDegree[u, x] - BinomialDegree[v, x], 0]
&&  !BinomialMatchQ[{u, v}, x]

Rule 478

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e^(n -
1)*(e*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q)/(b*(m + n*(p + q) + 1)), x] - Dist[e^n/(b*(m + n*(p +
q) + 1)), Int[(e*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[a*c*(m - n + 1) + (a*d*(m - n + 1) - n*q*(b
*c - a*d))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[q, 0] &&
GtQ[m - n + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 582

Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
x_Symbol] :> Simp[(f*g^(n - 1)*(g*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(b*d*(m + n*(p + q
+ 1) + 1)), x] - Dist[g^n/(b*d*(m + n*(p + q + 1) + 1)), Int[(g*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*Simp[a*
f*c*(m - n + 1) + (a*f*d*(m + n*q + 1) + b*(f*c*(m + n*p + 1) - e*d*(m + n*(p + q + 1) + 1)))*x^n, x], x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p, q}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1]

Rule 523

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Dist[f/b, I
nt[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Dist[(b*e - a*f)/b, Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, n}, x]

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)} \tanh ^4(x) \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^4 \sqrt{a+b \left (1-x^2\right )}}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^4 \sqrt{a+b-b x^2}}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}+\frac{1}{4} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^2 \left (3 (a+b)+(a-3 b) x^2\right )}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\frac{(a-3 b) \tanh (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}{8 b}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a-3 b) (a+b)+\left (-a^2-6 a b+3 b^2\right ) x^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{8 b}\\ &=\frac{(a-3 b) \tanh (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}{8 b}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}+a \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )-\frac{\left (a^2+6 a b-3 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{8 b}\\ &=\frac{(a-3 b) \tanh (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}{8 b}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}+a \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-a x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac{\left (a^2+6 a b-3 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+b x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )}{8 b}\\ &=-\frac{\left (a^2+6 a b-3 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )}{8 b^{3/2}}+\sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )+\frac{(a-3 b) \tanh (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}{8 b}-\frac{1}{4} \tanh ^3(x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.439764, size = 192, normalized size = 1.54 \[ -\frac{\cosh (x) \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)} \left (\sqrt{2} \left (a^2+6 a b-3 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{b} \sinh (x)}{\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}}\right )-8 \sqrt{2} \sqrt{a} b^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{a} \sinh (x)}{\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}}\right )-2 b^{3/2} \tanh (x) \text{sech}^3(x) \sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}-\sqrt{b} (a-5 b) \tanh (x) \text{sech}(x) \sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}\right )}{8 b^{3/2} \sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*Tanh[x]^4,x]

[Out]

-(Cosh[x]*Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*(Sqrt[2]*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sinh[x])/Sqrt[a + 2*b +
a*Cosh[2*x]]] - 8*Sqrt[2]*Sqrt[a]*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sinh[x])/Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]] - (a
- 5*b)*Sqrt[b]*Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]*Sech[x]*Tanh[x] - 2*b^(3/2)*Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]*Sech[x]^3*
Tanh[x]))/(8*b^(3/2)*Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]])

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.125, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{a+b \left ({\rm sech} \left (x\right ) \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{4}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*sech(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^4,x)

[Out]

int((a+b*sech(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^4,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a} \tanh \left (x\right )^{4}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*sech(x)^2 + a)*tanh(x)^4, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 5.80809, size = 24571, normalized size = 196.57 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/16*(4*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2
)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*c
osh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)
^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2
*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log((a*b^2*cosh(x)^8 + 8*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7
+ a*b^2*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^6 + 2*(14*a*b^2*cosh(x)^2 - a*b^2 + b^3)*sinh(x)^6 + 4*(14*a*b^2*c
osh(x)^3 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*a*b^2*cosh(x)^4 + a^
3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2 - 30*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*a*b^2*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 - b^3)*cosh(
x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*a*b^2*cosh(x)^
6 - 15*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*(a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b
^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4
+ 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x
)^2 - a^2 - 4*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sq
rt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*a*b^2*cos
h(x)^7 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))/(
cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6
*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^
7 + (a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2
+ a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*si
nh(x)^5 + 6*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)
*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 18*a*b - 9*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^2 + 6*a*b - 3*b^
2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 6*
a*b - 3*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^4 + 9*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 6*a*b
- 3*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 6*a*b - 3*b^2 + 8*((a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x
)^5 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-b)*log(-((a - b)*cosh(
x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a - b)*sinh(x)^4 + 2*(a + 3*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a - b)*cosh(x)^2 + a +
3*b)*sinh(x)^2 + 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh
(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a - b)*cosh(x)^3 + (a + 3*b)*cosh(x))*sinh
(x) + a - b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(c
osh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 4*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)
^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2
*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(
x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b
^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(-(a*cosh(x)^4 +
4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cos
h(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*
cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2)) + 2*sqrt(2)*((a*b - 5*b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a*b - 5*b^2)*sinh(x)
^6 + (a*b + 3*b^2)*cosh(x)^4 + (15*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 + a*b + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a*b - 5*b^2)*cosh(
x)^3 + (a*b + 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a*b + 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^4 + 6*(a*b + 3*b
^2)*cosh(x)^2 - a*b - 3*b^2)*sinh(x)^2 - a*b + 5*b^2 + 2*(3*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^5 + 2*(a*b + 3*b^2)*cosh(x)^
3 - (a*b + 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2)))/(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2
+ b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30
*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*s
inh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 +
3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)), -1/8*(((a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 +
6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*
(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a
^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(
x)^4 + 30*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 18*a*b - 9*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cos
h(x)^5 + 10*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 + 6*a*b - 3*
b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^4 + 9*(a^2 + 6*a*b -
3*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 6*a*b - 3*b^2 + 8*((a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^7 +
3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^5 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x
))*sqrt(b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x
)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4
+ 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x)
+ a)) - 2*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b
^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2
*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(
x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b
^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log((a*b^2*cosh(x)^8 + 8*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^
7 + a*b^2*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^6 + 2*(14*a*b^2*cosh(x)^2 - a*b^2 + b^3)*sinh(x)^6 + 4*(14*a*b^2
*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*a*b^2*cosh(x)^4 +
a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2 - 30*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*a*b^2*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 - b^3)*cos
h(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*a*b^2*cosh(x
)^6 - 15*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*(a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*
(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)
^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh
(x)^2 - a^2 - 4*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*
sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*a*b^2*c
osh(x)^7 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))
/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 +
6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) - 2*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x
)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 +
2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh
(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 +
b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(-(a*cosh(x)^4 +
4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(co
sh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2
*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2)) - sqrt(2)*((a*b - 5*b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a*b - 5*b^2)*sinh(x)^
6 + (a*b + 3*b^2)*cosh(x)^4 + (15*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 + a*b + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a*b - 5*b^2)*cosh(x
)^3 + (a*b + 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a*b + 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^4 + 6*(a*b + 3*b^
2)*cosh(x)^2 - a*b - 3*b^2)*sinh(x)^2 - a*b + 5*b^2 + 2*(3*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^5 + 2*(a*b + 3*b^2)*cosh(x)^3
- (a*b + 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2)))/(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2
+ b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*
b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*si
nh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 +
3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)), -1/16*(8*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 +
b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3
+ 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(
7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*
cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)
)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a
*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*b*cosh(x)^4 + 4*a*b*cosh(x)*sinh(x)^3 +
a*b*sinh(x)^4 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*a*b*cosh(x)^2 - a^2 - 3*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(2*a*b*cosh(x)^3
- (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) + 8*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(
x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 +
2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cos
h(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 +
b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(c
osh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 -
2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 +
2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) - ((a^2 + 6*a*b - 3*
b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + 6*a*b
- 3*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 6*a*b
- 3*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(
a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 18*a*b - 9*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7
*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(
x)^3 + 4*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cos
h(x)^4 + 9*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 6*a*b - 3*b^2 + 8*((a^2 +
6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^5 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 + 6*a*
b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-b)*log(-((a - b)*cosh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a - b)*sinh(x)^
4 + 2*(a + 3*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a - b)*cosh(x)^2 + a + 3*b)*sinh(x)^2 + 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sin
h(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sin
h(x)^2)) + 4*((a - b)*cosh(x)^3 + (a + 3*b)*cosh(x))*sinh(x) + a - b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(
x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) - 2*sqrt(2)*((a*b -
5*b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a*b - 5*b^2)*sinh(x)^6 + (a*b + 3*b^2)*cosh(x)^4 + (1
5*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 + a*b + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^3 + (a*b + 3*b^2)*cosh(x))*sin
h(x)^3 - (a*b + 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^4 + 6*(a*b + 3*b^2)*cosh(x)^2 - a*b - 3*b^2)*sinh
(x)^2 - a*b + 5*b^2 + 2*(3*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^5 + 2*(a*b + 3*b^2)*cosh(x)^3 - (a*b + 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x
))*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(b^2*cosh(x)^8 + 8
*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)
^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4
+ 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 1
5*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^
3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)), -1/8*(4*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6
+ 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3
5*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^
3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2
+ 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh
(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2
- 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*b*cosh(x)^4 + 4*a*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b*sinh(x)^4 - (a^2 + 3*a*b)*cos
h(x)^2 + (6*a*b*cosh(x)^2 - a^2 - 3*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(2*a*b*cosh(x)^3 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x)
)) + 4*(b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*
sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cos
h(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3
+ 4*(7*b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*c
osh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + si
nh(x)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/
(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(
x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) + ((a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 6*a*b -
3*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 +
6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 6*
a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^4 +
30*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 18*a*b - 9*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^5
+ 10*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*co
sh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^4 + 9*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*
cosh(x)^2 + a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 6*a*b - 3*b^2 + 8*((a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2
+ 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^5 + 3*(a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt
(b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a
+ 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a
+ 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a))
- sqrt(2)*((a*b - 5*b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a*b - 5*b^2)*sinh(x)^6 + (a*b + 3*b^
2)*cosh(x)^4 + (15*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 + a*b + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^3 + (a*b + 3*
b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a*b + 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^4 + 6*(a*b + 3*b^2)*cosh(x)^2 -
a*b - 3*b^2)*sinh(x)^2 - a*b + 5*b^2 + 2*(3*(a*b - 5*b^2)*cosh(x)^5 + 2*(a*b + 3*b^2)*cosh(x)^3 - (a*b + 3*b^2
)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(
b^2*cosh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 + 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^
6 + 6*b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 + 30*b^2*cosh(x)^2 +
3*b^2)*sinh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 + 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*
b^2*cosh(x)^6 + 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 + 3*b^2*cosh(x)^5
+ 3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{a + b \operatorname{sech}^{2}{\left (x \right )}} \tanh ^{4}{\left (x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)**2)**(1/2)*tanh(x)**4,x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*sech(x)**2)*tanh(x)**4, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a} \tanh \left (x\right )^{4}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^4,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sqrt(b*sech(x)^2 + a)*tanh(x)^4, x)